【已知正实数x，y满足x+y+1/x+9/y=10,则x+y的最大最小值是多少？有一步看不懂(x+y)(x+y+1/x+9/y)=10(x+y)(x+y)^2+y/x+9x/y+10=10(x+y)因为y/x+9x/y≥6,当且仅当y=3x取等号所以(x+y)^2+6+10≤10（x+y）令（x+y）=t解得x+y】
更新时间：2024-04-27 13:22:47
5人问答
问题描述：
已知正实数x，y满足x+y+1/x+9/y=10,则x+y的最大最小值是多少？
有一步看不懂
(x+y)(x+y+1/x+9/y)=10(x+y)
(x+y)^2+y/x+9x/y+10=10(x+y)
因为y/x+9x/y≥6,当且仅当y=3x取等号
所以(x+y)^2+6+10≤10（x+y）令（x+y）=t
解得x+y∈[2,8]
“当且仅当y=3x取等号”，可如果取到等号x和y的值不是可以直接解出来了吗，那么也不存在最值一说了
若取不到等号，那么怎么能用二次函数来求呢？
马绪森回答：
取等号(y=3x)求x,y值为(1/2,3/2),(2,6)是两个极值点，但这种求法比直接求（x+y)的值繁琐一些，解
(x+y)^2+16-10（x+y）≤0也是相当于求出等号成立（y=3x)时的两个解，x+y=2或x+y=8,然后得2≤x+y≤8,求出极值，不知你是否能看懂我的解释。
马绪森回答：
此题我在从头帮你捋顺，∵y/x+9x/y≥6（y=3x等号成立）
∴(x+y)^2+y/x+9x/y+10=10(x+y)推出
10(x+y)=(x+y)^2+y/x+9x/y+10≥(x+y)^2+6+10=(x+y)^2+16
(x+y)^2-10(x+y)+16≤0
[(x+y)-2][(x+y)-8]≤0
2≤x+y≤8
所取得极值是(x+y)^2-10(x+y)+16=0的两个根，而等号成立的条件是y=3x.
并且是(x=1/2,y=3/2),(x=2,y=6)只有这两组解是最小值和最大值，没有其它的可能，数学就是严密的逻辑推理。
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