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x1,x2是矩阵A的两个不同的特征值,a1,a2是A的分别属于x1,x2的特征向量,则k1a1+k2a2是不是A的特征向量?请具体讨论.
更新时间:2024-05-02 09:42:10
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问题描述:

x1,x2是矩阵A的两个不同的特征值,a1,a2是A的分别属于x1,x2的特征向量,则k1a1+k2a2是不是A的特征向量?

请具体讨论.

李琪琪回答:
  当k1,k2都不是0时不是.反证法:若k1a1+k2a2是属于某个特征值x对应的特征向量,即   A(k1a1+k2a2)=x(k1a1+k2a2),利用条件有   k1*x1*a1+k2*x2*a1=k1*x*a1+k2*x*a2,或者   (k1*x1-k1*x)a1+(k2*x2-k2*x)a2=0.   由于a1,a2是无关的,因此必有   k1*(x1-x)=0,k2*(x2-x)=0.   由于k1,k2不为0,因此x1=x2=x.矛盾.   当k1为0时或者k2为0时,显然此时k1,k2不同时为0就是特征向量,   同时为0不是特征向量.
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