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设椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,一个顶点坐标为(2,0),离心率为32根号3/2.(1)求这个椭圆的方程;(2)若这个椭圆左焦点为F1,右焦点为F2,过F1且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点,求△A
更新时间:2024-04-26 14:03:43
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问题描述:

设椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,一个顶点坐标为(2,0),离心率为32根号3/2.

(1)求这个椭圆的方程;

(2)若这个椭圆左焦点为F1,右焦点为F2,过F1且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点,求△ABF2的面积.

潘大连回答:
  (1)一个顶点为(2,0),则a=2   离心率为e=c/a=√3/2,则c=√3/2*a=√3   ∴b²=a²-c²=4-3=1   ∴椭圆方程为x²/4+y²=1   (2)易知左右焦点分别为F1(-√3,0),F2(√3,0)   过F1且斜率为1的直线方程为y=x+√3   直线交椭圆于A,B两点,易知   S△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2   =1/2*|F1F2|*|y(A)|+1/2*|F1F2|*|y(B)|   =1/2*|F1F2|*[|y(A)|+|y(B)|]   =1/2*|F1F2|*|y1-y2|   将直线x=y-√3代入椭圆可得   (y-√3)²/4+y²=1,整理可得   5y²-2√3y-1=0   由韦达定理可得   y1+y2=2√3/5,y1y2=-1/5   ∴|y1-y2|=√(y1-y2)²   =√[(y1+y2)²-4y1y2]   =√[(2√3/5)²-4*(-1/5)]   =4√2/5   ∴S△ABF2=1/2*|F1F2|*|y1-y2|   =1/2*2√3*4√2/5   =4√6/5   ∴△ABF2的面积为4√6/5
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