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【已知椭圆(X^2/A^2)+(Y^2/B^2)=1(A>B>0)与X轴的正半轴交于A,O是原点,若椭圆上存在一点M,使MA垂直MO,求椭圆离心率的取值范围】
更新时间:2024-04-26 17:12:45
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问题描述:

已知椭圆(X^2/A^2)+(Y^2/B^2)=1(A>B>0)与X轴的正半轴交于A,O是原点,若椭圆上存在一点M,使MA垂直MO,求椭圆离心率的取值范围

孟燕燕回答:
  设A(a,0)   M是(acosm,bsinm)   所以MA,MO斜率是bsinm/(acosm-a),bsinm/acosm   垂直则b²sin²m/[(acosm-a)acosm]=-1   b²sin²m=a²cosm-a²cos²m   (a²-c²)sin²m=a²cosm-a²cos²m   a²sin²m-c²sin²m=a²cosm-a²cos²m   a²(sin²m+cos²m)-c²sin²m=a²cosm   a²-a²cosm=c²sin²m   c²/a²=(1-cosm)/sin²m   =(1-cosm)/(1-cos²m)   =(1-cosm)/(1-cosm)(1+cosm)   =1/(1+cosm)   0=1/2   所以√2/2
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