设f（x）=x3+ax2+bx+1的导函数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=-b，其中常数a，b∈R，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为________．
更新时间：2024-04-26 12:25:06
1人问答
问题描述：
设f（x）=x3+ax2+bx+1的导函数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=-b，其中常数a，b∈R，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为________．
任天荣回答：
（I）因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以f'（x）=3x2+2ax+b．…..（2分）
令x=1得f'（1）=3+2a+b．
由已知f'（1）=2a，所以3+2a+b=2a．解得b=-3．…．（4分）
又令x=2得f'（2）=12+4a+b．
由已知f'（2）=-b，所以12+4a+b=-b，解得a=-．…..（6分）
所以f（x）=x3-x2-3x+1，f（1）=-．…..（8分）
又因为f′（1）=2×（-）=-3，…．（10分）
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-（-）=-3（x-1），即6x+2y-1=0．…..（12分）
故答案为：6x+2y-1=0．
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