Euler(欧拉)在1734年,利用Newton的成果,首先获得了调和级数有限多项和的值.结果是： 　　相关书籍 　　1+1/2+1/3+1/4+...+1/n=ln(n+1)+r(r为常量) 　　他的证明是这样的： 　　根据Newton的幂级数有： 　　ln(1+1/x)=1/x-1/2x^2+1/3x^3-... 　　于是： 　　1/x=ln((x+1)/x)+1/2x^2-1/3x^3+... 　　代入x=1,2,...,n,就给出： 　　1/1=ln(2)+1/2-1/3+1/4-1/5+... 　　1/2=ln(3/2)+1/2*4-1/3*8+1/4*16-... 　　. 　　1/n=ln((n+1)/n)+1/2n^2-1/3n^3+... 　　相加,就得到： 　　1+1/2+1/3+1/4+...1/n=ln(n+1)+1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2)-1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3)+. 　　后面那一串和都是收敛的,我们可以定义 　　1+1/2+1/3+1/4+...1/n=ln(n+1)+r 　　Euler近似地计算了r的值,约为0.5772156649.这个数字就是后来称作的欧拉常数.不过遗憾的是,我们对这个常量还知之甚少,连这个数是有理数还是无理数都还是个谜.