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如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过O点作直线MN‖BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠ACD的外角平分线于点F①求证:OE=OF②当点O运动到何处时,四边形
更新时间:2024-03-29 07:46:52
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问题描述:

如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点

如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过O点作直线MN‖BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠ACD的外角平分线于点F

①求证:OE=OF

②当点O运动到何处时,四边形AECF为矩形;并证明你的结论

3若AC边上存在点O,使四边形AEDF是正方形,且AE:BC=根号6:2,求角B的大小

倪顺康回答:
  (1)由角平分线条件可得:∠BCE=∠ACE,∠ACF=∠DCF由MN∥BC可得:∠BCE=∠OEC,∠DCF=∠OFC(内错角相等)进一步得到:∠OEC=∠OCE,∠OCF=∠OFC   则△OEC、△OFC为等腰三角形,分别有:OE=OC,OF=OC得到:OE=OF.   (2)当O点运动到AC的中点处时,四边形AECF是矩形.下面证明这个结论.由(1)可知:OE=OF=OC.   又O为AC的中点,则有:OA=OC.可以得到:OE=OF=OC=OA.   由CE、CF为角平分线的条件容易得到:∠ECF=90°.现在只需要证明四边形AECF是平行四边形即可得到结论.   由OA=OE,可得:∠AEO=∠OAE   由三角形内角和关系有:∠AEO+∠AOE+∠OAE=180°则有∠OAE=(180°-∠AOE)/2   同理可得:∠OCF=(180°-∠COF)/2由对顶角关系得到:∠AOE=∠COF则有:∠OAE=∠OCF,推出AE∥CF.同理可证:AF∥CE   则四边形AECF是平行四边形,又∠ECF=90°,则四边形AECF是矩形.
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