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阅读理解如图1,△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重叠部分;将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重叠部分;…将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠,点Bn与点C重合.无论折叠
更新时间:2024-04-20 12:06:33
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问题描述:

阅读理解

如图1,△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重叠部分;将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重叠部分;…将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠,点Bn与点C重合.无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,我们就称∠BAC是△ABC的好角.

小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形.情形一:如图2,沿等腰三角形ABC顶角∠BAC是平分线AB1折叠,则等腰三角形的两个点B与点C重合(因为等腰三角形的两个底角是相等的);情形二:如图3,沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重叠部分;将余下的部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合.

探究发现

(1)△ABC中,∠B=2∠C,经过两次折叠,∠BAC是不是△ABC的好角?___(填“是”或“不是”)

(2)小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角,请探究∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系,写出探究过程.

根据以上内容猜想:若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系是___.

段志蓉回答:
  (1)∠BAC是△ABC的好角,   理由如下:如图1,   ∵沿∠BAC的平分线AB1折叠,   ∴∠B=∠AA1B1;   又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合,   ∴∠A1B1C=∠C;   ∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C(外角定理),   ∴∠B=2∠C,   即∠BAC是△ABC的好角,   故答案为:是;   (2)∠B=3∠C,   理由是:如图2,   在△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重复部分,将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠,点B2与点C重合,   证明如下:∵根据折叠的性质知,∠B=∠AA1B1,∠C=∠A2B2C,∠A1B1C=∠A1A2B2,   ∴根据三角形的外角定理知,∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C;   ∵根据四边形的外角定理知,∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°,   根据三角形ABC的内角和定理知,∠BAC+∠B+∠C=180°,   ∴∠B=3∠C;   所以若经过n次折叠发现△ABC是“可折叠三角形”,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为∠B=n∠C.   故答案为:∠B=n∠C.
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