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求一多项式f(x)是7次多项式,f(x)+1能被(x-1)^4整除,f(x)-1能被(x+1)^4整除,求f(x)?(最好用导数方法做)
更新时间:2024-03-29 14:15:50
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问题描述:

求一多项式

f(x)是7次多项式,f(x)+1能被(x-1)^4整除,f(x)-1能被(x+1)^4整除,求f(x)?(最好用导数方法做)

李虹回答:
  由条件可以知道f'(x)可以被(x-1)^3和(x+1)^3同时整除,于是f'(x)=a(x^2-1)^3   即f'(x)=a(x^6-3x^4+3x^2-1),从而   f(x)=a[(x^7)/7-3(x^5)/5+x^3-x]+c   由f(1)+1=0,f(-1)-1=0可得:   a[1/7-3/5]+c=-1   a[-1/7+3/5]+c=1   故c=0,a=-35/16   于是f(x)=-5(x^7)/16+21(x^5)/5-35(x^3)/16+35x/16
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