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F(x)为f(x)的原函数,且当x>=0时f(x)*F(x)=xe^x/(2*(1+x)^2),已知F(0)=1,F(x)>0,求f(x)
更新时间:2024-04-20 02:46:25
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问题描述:

F(x)为f(x)的原函数,且当x>=0时f(x)*F(x)=xe^x/(2*(1+x)^2),已知F(0)=1,F(x)>0,求f(x)

吕妍红回答:
  由已知有F'(x)=f(x)   ∴∫f(x)*F(x)dx=∫F(x)F'(x)dx=∫F(x)d(F(x))=1/2·F(x)²+C   另一方面,   ∫f(x)*F(x)dx=∫xe^x/[2(1+x)²]dx   =1/2·[-1/(1+x)]·xe^x+1/2∫1/(1+x)·e^x(x+1)dx   =1/2·[-1/(1+x)]·xe^x+1/2∫e^xdx   =1/2·[-1/(1+x)]·xe^x+1/2·e^x+C   =1/2·e^x/(1+x)+C   ∴1/2·F(x)²=1/2·e^x/(1+x)+C   ∵F(0)=1,F(x)>0   ∴F(x)=√[e^x/(1+x)]   ∴f(x)=xe^x/[2(1+x)²]/F(x)=1/2·xe^(x/2)·(1+x)^(-3/2)
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