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【数学归纳证明证明:对大于2的一切正整数n,下列不等式成立(1+2+3+…+n)(1+1/2+1/3+…+1/n)≥n^2+n-1为什么首先n=1容易验证成立假设n=k成立n=k+1时有(1+2+3+…+k)(1+1/2+1/3+…+1/k)+(k】
更新时间:2024-04-25 06:32:24
1人问答
问题描述:

数学归纳证明

证明:对大于2的一切正整数n,下列不等式成立(1+2+3+…+n)(1+1/2+1/3+…+1/n)≥n^2+n-1

为什么

首先n=1容易验证成立

假设n=k成立n=k+1时有

(1+2+3+…+k)(1+1/2+1/3+…+1/k)+(k+1)*(1+1/2+1/3+…+1/k)+(1+2+3+…+k)*(1/(k+1)

(1+1/2+1/3+…+1/k)*(k+1)>2k+2

(1+2+3+…+k)*(1/(k+1)=k/2>0

(1+2+3+…+k)(1+1/2+1/3+…+1/k)>k^2+k-1

加一起..n=k+1成立

OK这两步不会理解

(1+1/2+1/3+…+1/k)*(k+1)>2k+2

(1+2+3+…+k)*(1/(k+1)=k/2>0

胡立微回答:
  咳咳,应该是首先n=3容易验证成立(不是n=1哦~)   假设n=k成立,即(1+2+3+…+k)(1+1/2+1/3+…+1/k)≥k^2+k-1,   因为1+2+3+…+k=k(k+1)/2,所以,   1+1/2+1/3+…+1/k≥(k^2+k-1)/[k(k+1)/2]   n=k+1时有   [1+2+3+…+k+(k+1)][1+1/2+1/3+…+1/k+1/(k+1)]   =(1+2+3+…+k)(1+1/2+1/3+…+1/k)   +(k+1)(1+1/2+1/3+…+1/k)   +(1+2+3+…+k)[1/(k+1)]   +(k+1)[1/(k+1)]   ≥k^2+k-1+(k+1)(k^2+k-1)/[k(k+1)/2]+k(k+1)/2*[1/(k+1)]+1   ≥k^2+k-1+2(k+1)-2/k+k/2+1   ≥(k+1)^2+(k+1)-1   因为k>2,-2/k+k/2≥0   这样可以理解吗?   静而后能思.共勉~
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