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椭圆x²/2+y²=1过左焦点F1作直线l交椭圆于A,B两点,且OA⊥OB,求直线方程
更新时间:2024-04-26 02:02:01
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问题描述:

椭圆x²/2+y²=1过左焦点F1作直线l交椭圆于A,B两点,且OA⊥OB,求直线方程

毕笃严回答:
  解由题知椭圆x²/2+y²=1的左焦点F1(-1,0).   当直线L垂直x轴时,设A(-1,√2/2),B(-1,-√2/2),   故OA*OB=(-1)×(-1)+√2/2×(-√2/2)=1-1/2=1/2   这与OA⊥OB相矛盾,   当直线L不垂直于x轴时,   设直线L的方程为y-0=k(x+1)   设A(x1,y1),B(x2,y2)   即OA=(x1,y1),OB=(x2,y2)   由y-0=k(x+1)与x²/2+y²=1   消y得(2k^2+1)x^2+4k^2x+2k^2-2=0   故x1x2=(2k^2-2)/(2k^2+1)   消x得(2k^2+1)y^2-2ky-k^2=0   即y1y2=-k^2/(2k^2+1)   又由OA⊥OB   知x1x2+y1y2=0   即(2k^2-2)/(2k^2+1)-k^2/(2k^2+1)=0   即k^2=2   即k=±√2   故直线L的方程为y-0=±√2(x+1)
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