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【谁能帮我解决一道高中数学,感激不尽A,B属于(0,二分之派)且A+B不等于二分之派,角A,B满足条件:sinB=sinAcos(A+B)(1)用tanA表示tanB(2)求tanB最大值】
更新时间:2024-03-28 17:15:00
1人问答
问题描述:

谁能帮我解决一道高中数学,感激不尽

A,B属于(0,二分之派)且A+B不等于二分之派,角A,B满足条件:sinB=sinAcos(A+B)

(1)用tanA表示tanB

(2)求tanB最大值

牛俊邦回答:
  sinB=sinAcos(A+B)   sinB=sinA(cosAcosB-sinAsinB)   =sinA*cosAcosB(1-tanAtanB)   tanB=sinA*cosA(1-tanAtanB)=1/2*sin2A(1-tanAtanB)   =1/2*sin2A-1/2*sin2A*tanAtanB   tanB*(1+1/2*sin2A*tanA)=1/2*sin2A   tanB=1/2*sin2A/(1+1/2*sin2A*tanA),   因为sin2A=2*tanA/(1+(tanA)^2),   所以tanB=[tanA/(1+(tanA)^2]/[1+(tanA)^2/(1+(tanA)^2)]   =tanA/(1+2(tanA)^2).   设tanA=t,则t∈(0,+∞),   tanB=t/(1+2*t^2)>0,   1/tanB=(1+2*t^2)/t=1/t+2t≥2*√(1/t*2t)=2√2,等号当且仅当1/t=2t,即t=1/√2时成立   tanB≤1/2√2=√2/4,   tanB最大值为√2/4,当t=1/√2即A=π/4时成立.
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