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已知椭圆C:x^2/3+y^2=1.其准圆:x^2+y^2=4.点P是椭圆C的准圆上的一个动点过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个焦点,求证l1垂直l2.
更新时间:2024-04-20 19:00:18
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问题描述:

已知椭圆C:x^2/3+y^2=1.其准圆:x^2+y^2=4.点P是椭圆C的准圆上的一个动点

过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个焦点,求证l1垂直l2.

李小慧回答:
  椭圆方程x²+3y²=3   设P(x0,y0)在椭圆的准圆上   则x0²+y0²=4   设过P的直线是y-y0=k(x-x0)   代入椭圆方程   x²+3[kx-(kx0-y0)]²=3   ∴(1+3k²)x²-6(kx0-y0)kx+3(kx0-y0)²-3=0   判别式=36(kx0-y0)²*k²-4(1+3k²)*[3(kx0-y0)²-3]=0   ∴3(kx0-y0)²k²-(1+3k²)*[(kx0-y0)²-1]=0   ∴-(kx0-y0)²+1+3k²=0   即(3-x0²)k²+2kx0y0+1-y0²=0   则利用韦达定理,k1*k2=(1-y0²)/(3-x0²)=(1-4+x0²)/(3-x0²)=-1   ∴直线L1,L2垂直.
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